numerical systems

األنظمة انعذدية Systems) (Numerical





1.1مقذمة :
يعد إستخدام األرقام كوسيمة لمعدد والسسدام دإل اازادا ااه ال ا دة التدا سإلإل دا اازسداإل ريدر التداري
والتا ساه ه فا تسد ي كافدة الع ميداه السسدايية وتسدريع ا. فإلدد إسدتخدام اازسداإل زد الإلددم الكريدر دإل األدواه لت ري ر مياه العدد والسسدام و ز دا اسدتخدا ا أل داي يددر العلدر والتدا كازده األسدا لمزظدام
العددي وال ي ال ي اا ع و يا ستى يو زا ه ا وال س ى بالنظام العشري System) .(Decimal فددا ال ارسدد الد ارسددية السددايإلة ورزددد د ارسددتش لمزظددام العلددري اليددد زددش السظدده إل الإلي ددة السإليإليددة لمرقم تعت د رمى قي تا ال كازية فا العدد , وه ا يعزا إل الرقم ي كإل إل يأخ كرر دإل قي دة والد ي يسددد
لش كازا داخ العدد ( وال ي يس ى يال رتية,) تاداد قي ة العدد إ ا سركتاُ ياتاار اليسار وتإلد قي تدا إ ا


ها سيعة فإلط ا قي ة الدرقم

سركيا ياتاار الي يإل. ف رالً العدد 937( ) زاد إل الإلي ة السإليإلية لمرقم 7
3 ف ا )33( وقي ة الرقم 9 ها .)933(


وهزالددش زظ ددة ردديدددة خددرظ ميددر الزظدددام العلددري , و كررهددا لددديوراً هددا النظاااام الئنااالن النظاااام الئماااانن النظاااام الشاااا س شاااري. وتكدددوإل هددد ر األزظ دددة فيدددد فدددا األزظ دددة الرق يدددة رددد الساسدددياه االلكتروزية , ال عالااه الدقيإلة , وميرها إل األزظ ة الرق يدة. ول د ا السديم فازدا دإل ال دروري ااطدالع
رمى ك إل ه ر األزظ ة العددية لغرض استخدا ا فا د ارستزا لألزظ ة الرق ية.




2.1 اننظاو انعشري : System Decimal

وهددو الزظددام العددددي ال تعددارا رميددا وال سددتخدم فددا كافددة ال اددااله وفددا كدد ازسددا العددالم واددا ه

تس ية الزظام م(العلدري) الإل رددد الر دوا الداخمدة فدا تركييدة ي رددد فدا هد ا الزظدام هدا رلدر ر دوا

وها 3( , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ) وفا سالة استخدام اكردر دإل ر دا فداإل الإلي دة العدديدة

تعت د رمى وق الر ا د إل سمسدمة الر دوا , اإل رددد الر دوا الداخمدة فدا تركيدم الزظدام العدددي تسد ى يأسددا الزظددام , لدد لش فدداإل اسددا الزظددام العلددري هددو العدددد )13( وسدد ا يأسددا العدددد الإل كدد رددددد
كتوم ي ا الزظام يعت د ياالسا رمى ه ا العدد . مثال : العدد العلري 7654523 ي كإل تسميما إلى ال ارتم التالية
5 4 . 2 3
7×1000 6 × 100 5 × 10 4 × 1 2 × 1/10 3 × 1/100

7 × 103 6 × 102 5 × 101 4 × 100 2 × 10-1 3 × 10-2



اننظاو انثنائي: System Binary


وهو زظام رددي ساسدا العددد )2( إلارزدة يالزظدام العلدري الد ي ساسدا العددد )13( , ي اإل رددد

3.1


الر ددوا ال سددتخد ة فددا الزظدددام هددا ر ددايإل فإلدددط وهددا ( 3 , 1 ) لت ريدد كافدددة االرددداد . ويعتيددر الزظدددام الرزائا اسا المغة التا تتعا ي ا الساسية االلكتروزية واألزظ ة الرق ية , را رمى اردداد ي د ا الزظدام
:

1001 , 10111.101 , 10.1101 , 0.1011
إل خال السظتزا االرداد ارالر زالسدظ يداإل االردداد يالزظدام الرزدائا ولكدإل توادد اردداد لديي ا ي دا فدا

الزظام العلري , فمت ييا العدد ال كتوم يالزظام ال عيإل , تكتم االرداد داخ اقوا كتاية ر دا اسدف
الإلو ي ر اسا الزظام ال كتوم يا العدد .

ف رال : العدد 113 يكتم يالرزائا )113(2 ويالعلري )113(13
مثال : لتسمي العدد )1135131(2 الى ارتيا :
(110.101)2 = 0×20 + 1×21 + 1×22 + 1×2-1 + 0×2-2 + 1×2-3




Octal System

اننظاو انثماني :


4.1


وهو إل االزظ ة ال سدتخد ة فدا الساسدياه االلكتروزيدة ساسدا العددد )8( , الر دوا ال سدتخد ة فدا


3( , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ) را رمى إرداد الزظام الر ازا
(110.013)8 , (203.62)8 , (721.5)8 , (0.513)8

ه ا الزظام ها

مثال : سم العدد )233565(8 الى ارتيا
(203.65)8 = 3 × 80 + 0 × 81 + 2 × 82 + 6 × 8-1 + 5 × 8-2
= 3 ×1 + 0 × 8 + 2 × 64 + 6 × 1/8 + 5 × 1/64



اننظاو انسادس عشري : System Hexadecimal
وهددو ددإل االزظ ددة ال ددة ال سددتخد ة فددا الساسددياه االلكتروزيددة ساسددا العدددد )16( ي إإل ردددد

5.1


الر وا ال ستخد ة فا تلكي رداد الزظام ها 16 ر ا وها :
( F , E , D , C , B , A , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1, 0 )



و را رمى رداد يالزظام الساد رلري :
(2D6.F3)16 , (10011.1)16 , (FFF)16 , (0.257)16



مثال :: سم العدد (3A1.7F)16 إلى ارتيا :
(3A1.7F)16 = 1 × 160 + 10 × 16 1 + 3 × 16 2 + 7 × 16 -1 + 15 × 16 -2
= 1 × 1 + 10 × 16 + 3 × 256 + 7 × 1/16 + 15 × 1/256

مالحظة : رزد إلارزة الر وا الساد رلرية يالزظام العلري فاإل الر وا) A (F تسداوي فدا الزظدام
.(15 10 ) العلري




انتحويالت بني األنظمة انعذدية
إل ر مية التسوي ييإل األزظ ة العددية إل الع مياه ال ة والتا يام إإل يتعرا رمي ا اللخص


6.1


الدد ي يدددر ر ميددة ت دد يم األزظ ددة الرق يددة . ولتسدد ي ر ميددة ف ددم هدد ر التسددوياله سدديتم تإلسددي ا إلددى
اا ي ك ا ورة تتلايا يطريإلة التسوي .




1.6.1 انتحويم من األنظمة (غري انعشرية) إىل اننظاو انعشري :
لتسويد ي رددد دإل ي زظدام ردددي إلدى زظدام العلدري يدتم تسميد العددد إلدى ارتيدا ارت دادا رمدى


زدداتج ا دد السدددود د والعدددد الزدداتج ددإل الا دد سدديكوإل هددو العدددد فددا الزظددام

سدا لددش الزظددام رددم إيادداد
العلري .


مثال :سو العدد (1101.01)2 إلى الزظام العلري :


(1101.01)2 = 1 × 20 + 0 × 2 1 + 1 × 22 + 1 × 2 3 + 0 × 2 -1 + 1 ×2-2
= 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × 4 + 1 × 8 + 0 × 1/2 + 1 × 1/4
= 1 + 0 + 4 + 8 + 0 + 0.25
= (13.25 ) 10




إلى الزظام العلري :
(125.4)8 = 5 × 80 + 2 × 8 1 + 1 × 8 2 + 4 × 8 -1
= 5 × 1 + 2 × 8 + 1 × 64 + 4 × 1/8

مثال :سو العدد (125.4)8

= 5 + 16 + 64 + 0.5
= (85.5)10

إلى الزظام العلري :

(A15.C)16

مثال :سو العدد


(A15.C)16 = 5 × 16 0 + 1 × 16 1 + 10 × 16 2 + 12 × 16 -1
= 5 × 1 + 1 × 16 + 10 × 256 + 12 × 1/16
= 5 + 16 + 2560 + 0.75
= (2581.75)10


2.6.1 انتحويم من اننظاو انعشري إىل األنظمة األخرى :
لتسوي ي ردد رلري إلى ي زظام خر يام تاائتا إلى اا سيح واا كسدري وتسويد كد
اا يطريإلة خا ة رم ا زاتج التسوي لماائيإل لمس و رمى الزاتج الز ائا .

أوالً: تحويل الجزء الصحيح :

لتسويدد الاددا ال ددسيح لمعدددد العلددري ألي زظددام زإلددوم يتإلسدديم العدددد العلددري رمددى سددا الزظددام ال طموم التسوي إليا وزستفظ يياقا الإلس ة د رم زأخ زاتج الإلس ة وزإلس ا ر خرظ رمى سا الزظام وزستفظ يالياقا وهك ا زست ر يتك ارر الع مية إلى إل زس رمى زاتج قسد ة يسداوي دفر . فيكدوإل زداتج
التسوي فا ر ود ياقا الإلس ة يإل ارتا إل األسف إلى األرمى وكتايتا إل اليسار إلى الي يإل


ألكشري :

تحويل الجزء

ئانياً:


لتسوي الاا لكسري إل العدد العلري إلى زظيرر فا األزظ ة األخرظ زإلوم ي درم العددد لكسدري
فا سا الزظام ال طموم التسوي إليا رم اخ الاا لكسري فإلط إل زاتج ال رم و ريا




ر خرظ فا األسا وهك ا تست ر ر مية ال رم إلى إل زتوقا فا إسدظ السااله التالية :

- إ ا إل يكوإل الاا لكسري الزاتج فا ال رم يشاوي صفر .
- تك ارر الاا لكسري كرر إل ر .

- تعإليد الاا لكسري كرر است ارر ر مية ال رم .

يعددد توقددا ر ميددة ال ددرم يددتم قدد ار زدداتج التسويدد فددا ر ددود الاددا ال ددسيح ددإل ال ددرم يإل ار تددا ددإل
األرمى إلى األسف وكتايتا يعد الفارا إل اليسار إلى الي يإل .




زاتج الإلس ة



ياقا الإلس ة

إلى الزظام الرزائا :

(13.125)10

مثال: سو العدد

13 ÷ 2 = 6 1
6 ÷ 2 = 3 0
3 ÷ 2 = 1 1
1 ÷ 2 = 0

0.125 × 2 = 0.25
0.25 × 2 = 0.5
0.5 × 2 = 1.0

1 1 3

1 ( 2

( 0 . 0 0 1 ( 2
)


زاتج التسوي الز ائا = 1101.001)2 (




زاتج الإلس ة



ياقا الإلس ة

إلى الزظام الر ازا :

(145.45)10

مثال: سو العدد

145 ÷ 8 = 18 1
18 ÷ 8 = 2 2
2 ÷ 8 = 0 2



2 2 1 ( 8

0.45 × 8 = 3.6
0.6 × 8 = 4.8
0.8 × 8 = 6.4
0.4 × 8 = 3.2
0.2 × 8 = 1.6
( 0 . 3 4 6 3 1 )8

)


زاتج التسوي الز ائا 221.34631)8= (





زاتج الإلس ة

إلى الزظام الساد رلري :
ياقا الإلس ة

(394.36)10

مثال: سو العدد

394 ÷ 16 = 24 10(A)
24 ÷ 16 = 1 8
1 ÷ 16 = 0 1



( 1 8 A )16

0.36 × 16 = 5.76
0.76 × 16 = 12.16
0.16 × 16 = 2.56
0.56 × 16 = 8.96
:
(0. 5 C 2 8 )16



زاتج التسوي الز ائا ? 18A.5C28)16 (

3.6.1 انتحويم من اننظاو انثنائي إىل انثماني وبانعكس :
لتسوي العدد إل الزظام الرزائا إلى الر ازا يإلسم العدد الرزائا إلى اا ي إل رالرة ارتم ايتدد ا
إل الفارا ياتاار اليسار لماا ال سيح وياتاار الي ديإل لمادا لكسدري , وا ا ازت ده األطد ارا ي ارتدم اقد ددإل رالرددة تك دد يا ددفار , رددم تسددو كدد ا ورددة رالريددة فددا الزظددام الرزددائا إلددى ددا يإلايم ددا فددا الزظددام
الر ازا ك ا فا الادو دزار , والعدد الزاتج هو العدد يالزظام الر ازا .

الئمانن الئنالن
22 21 23
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1





011 010 111 . 110 100

إلى الزظام الر ازا :

(11010111.1101)2

مثال: سو العدد



3 2 7 . 6 4


(11010111.1101)2 = (327.64)8


ولتسوي ي ردد إل الزظام الر ازا إلى الرزائا فتكوإل الع مية ركسية زسية لمتسوي السايق سيث يسو

كد ر ددا ر ددازا إلددى دا يعادلددا فددا الزظددام الرزدائا ددإل رالرددة ر ددوا وسسدم الادددو السددايق , رددم زسدد ا
اال فار التا فا الطرا األي إل واأليسر إل التسوي إإل واده والعدد الياقا هو زاتج التسوي .






3 2 1 . 6 4

011 010 001 . 110 100

إلى الزظام الرزائا :

(321.64)8

مثال: سو العدد



(321.64)8 = (11010001.1101)2




4.6.1 انتحويم من اننظاو انثنائي إىل اننظاو انسادس عشري وبانعكس :

إإل التسوي ييإل الزظام الساد رلري و الرزائا هو لييا يطريإلة التسوي الرزائا والر ازا الفرق

فإلط هو إإل ال اا ي الرزائية فا التسوي ها ريعة ارتم وادو التسوي هو ال ييإل دزار

الشا س
شري الئنالن
23 22 21 20
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
A 1 0 1 0
B 1 0 1 1
C 1 1 0 0
D 1 1 0 1
E 1 1 1 0
F 1 1 1 1



إلى الزظام الساد رلري :
0111 1311 . 1010 1000


(1111011.10101)2

مثال: سو العدد



7 B . A 8
(1111011.10101)2 = (7B.A8)16



8 D . 9

1000 1101 . 1001


(8D.9)16 = (10001101.1001)2

إلى الزظام الرزائا :

مثال: سو العدد (8D.9)16

5.6.1 انتحويم من اننظاو انثماني إىل انسادس عشري وبانعكس : لمتسويددد يددديإل الزظدددام الر دددازا و السددداد رلدددري يدددتم االسدددتفاد دددإل التسدددوياله السدددايإلة الزاددداا التسويد الز ددائا , درال إ ا ردزددا التسويد ددإل الر دازا إلددى السداد رلددري , يدتم تسويدد الر دازا الرزددائا
و إل رم تسوي الرزائا (الزاتج) إلى الساد رلري , والعك سيح .
2


2
إلى الزظام الساد العلري :
6 7 0 . 2 5 ازا الر


مثال: سو العدد (670.25)8




0001 10 11 1 000 .
1 B 8
(670.25)8 = (1B8.54)16






إلى الزظام الرزائا ؟




متارين:
(82.01)10 العدد سو .1



(540.12)10 إلى الزظام الر ازا ؟
(260.42)10 إلى الزظام الساد رلري ؟

.2 سو العدد
.3 سو العدد


.4 سو العدد (101101.001)2 إلى الزظام العلري ؟

.5 سو العدد (17E.2A)16 إلى الزظام الر ازا ؟

: يأتا ا ك فا X ة قي اواد .6 (X)8 = (35.875)10 , (X)16 = (10001010.101)2 , (X)10 = (804.1C)16

7.1 انعمهيات احلسابية يف اننظاو انثنائي
كمزددا يعمدددم الع ميددداه السسددايية التدددا تدددتم ياسددتخدام األردددداد العلدددرية ردد الا ددد والطدددر وال دددرم
والإلسدد ة د كدد هدد ر الع ميدداه ي كددإل اا ارئ ددا فددا األزظ ددة العدديددة األخددرظ د وألهمياا النظااام الئنااالن فددا
د ارستزا ل و وع الدوائر الرق ية , فسزإلوم يد ارسة تمش الع مياه السسايية فا الزظام الرزائا .





Binary Addition

17.7. الجمع في النظام الثنائي :


إإل ايسط ر مية ا فا الزظام الرزائا ها التا تتم ييإل ردديإل ك ردد يتكوإل دإل ر دا ( رتيدة )

رزائا واسد . ولو خ زا كافة االست االه ل ر الع مية فستكوإل االست دااله ال ييزدة فدا دزدار . وياالرت داد
رمى ه ر االست االه ي كإل تزفي ي ر مية ا رزائية ألي ردد إل ال ارتم.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 1 س (Carry)



: (1011.01)2 , (11010.1)2 العدديإل اا . :مثال
1 1 0 1 0 . 1 0
0 1 0 1 1 . 0 1 +
1 0 0 1 0 1 . 1 1




: مثال: ا زاتج ا العدديإل (11011.101)2 , (1110.11)2
1 1 0 1 1 . 1 0 1
0 1 1 1 0 . 1 1 0 +
1 0 1 0 1 0 . 0 1 1
س 1 1 = 1 + 1 + 1 ا زاتج : مالحظة



Binary Subtraction

2.7.1 الطرح في النظام الثنائي :

تكدددوإل است دددااله ايسدددط ر ميدددة طدددر يددديإل رددددديإل رزدددائييإل , وهدددا ريددد

ك دددا فدددا ر ميدددة الا ددد ,
است االه, وك ا ييزة :



1 استعار(Borrow)





: (1101.1)2 العدد إل

(1011)2

مثال: اطر العدد


1 1 0 1 . 1
1 0 1 1 . 0 -
0 0 1 0 . 1

. (1000.01)2

(110.1)2 إل العدد

اطر العدد

تمرين /






Binary Multiplication

3.7.1 الضرب في النظام الثنائي :


إن احتماالت عملية الضرب في النظام الثنائي هي :
0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1



: (1010)2 , (101)2
1 0 1 0
1 0 1 ×


1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0 1 0

اواد زاتج رم العدديإل

مثال:



Binary Division

4.7.1 القسمة في النظام الثنائي :


إن احتماالت عملية القسمة في النظام الثنائي هي :

0 ÷ 0 = ?
0 ÷ 1 = 0
1 ÷ 0 = ?
1 ÷ 1 = 1


(100)2

(11000)2رمى العدد
110

اواد زاتج قس ة العدد

مثال:

100 11000
100
0100
100 0000




املتممات Complements
يستخدم ف وم ال ت اه فا الساسية فا خاإل االرداد السدالية وسدزييإل لدش فدا ال وا دي الإلاد دةد

8.1


واالسددتخدام الرددازا هددو لمتعددويض رددإل ر ميددة الطددر يع ميددة ا دد تكددرر والدد ي يدد دي يدددورر إلددى اعدد
الدوائر االلكتروزية ال س ولة رإل ر مية الا يتزفي ر مية الطر يعض اا افاه لمدائر .
1.8.1 املتممات ي ف اننظاو انثنائي :
هزالش زوراإل إل ال ت اه فا الزظام الرزائا .


: إلموم العدد ( ي اع ك واسد فر وك فر واسد ) .
: هو ال ت م م 1 افا إليا 1 .

(1 s Complement) (2 s Complement)

.1 المتمم م 1
.2 المتمم م2

ال تتم م 2

ال تتم م 1

العدد

مثال:


001001 001000 110111
01110 01101 10010


2.... انطرح انثنائي باستخذاو املتممات :
أوال . الطرح باستخدام المتمم ل 1 :
لطر ردديإل رزائييإل ياستخدام ال ت م ل 1 نتبع الخطواه التالية :
.1 إك ا ارتم العدد األق رددا يال ارتم (ال طرو و ال طرو زا ) .
.2 إيااد ال ت م ل 1 لمعدد ال طرو .
.3 ا ال ت م ل 1 لم طرو ال طرو زا .

.4 زالسظ زتياة الا لمخطو 3 وك ا يما :

. إ ا كاإل هزالش واسد ظاهر فا ال رتية اا افية د فزإلوم يا عدا د يإليدة العددد والزداتج دإل ر ميدة
الا هو زاتج الطر ويكوإل وام .
م. إ ا لم يظ ر واسد فا ال رتية اا افية ( وهو داللة إإل زاتج الطر سالم ) ويكدوإل زداتج الطدر
يأخ ال ت م ل 1 لزاتج الا لمخطو 3 ويكوإل زاتج الع مية هو زاتج الطر ويكوإل سالم.





(1010)2 ياستخدام طريإلة ال ت م ل 1 :
زا طرو ال 1 0 1 0
طرو ال 1 1 0 ?
0 1 1 0 تك مة ارتم ال طرو

مثال: اطر العدد (110)2 إل العدد



الخطو 1

ل 1 لم طرو

م ت ال 1 0 0 1

الخطو 2

1 0 0 1 ال ت م ل 1 لم طرو
زا طرو ال 1 0 1 0 +

الخطو 3

ال رتية اا افية

1 0 0 1 1
1 +

الخطو 4

الطر زاتج 0 1 0 0

مثال: اطر العدد (10101)2 إل العدد (1011)2 ياستخدام ال ت م ل 1 :















تتي الخطواه التالية :








لطر رددييإل رزائييإل ياستخدام ال ت م ل 2
.1 إك ا ارتم العدد األق ارتم .
.2 إيااد ال ت م ل 2 لمعدد ال طرو .


.3 ا ال ت م ل 2 لمعدد ال طرو ال طرو زا .
.4 زالسظ زتياة الا لمخطو 3 : أ. إ ا كدداإل هزالددش واسددد ظدداهر فددا ال رتيددة اا ددافية د فزإلددوم يسدد ا هدد ا الواسددد واليدداقا هددو زدداتج
الطر ( وام) . ب. إ ا لدم يظ در واسدد فدا ال رتيددة اا دافية د فزإلدوم يأخد ال دت م ل 2 لزدداتج الا د ويكدوإل هدو زدداتج
الطر (سالم) .


(1010)2 ياستخدام ال ت م ل 2 :
زا طرو ال 1 0 1 0

(110)2 إل العدد

مثال: اطر العدد

طرو ال 0 1 1 0 ?

ال ت م ل 1 لم طرو

1 0 0 1
1 +

طرو لم 2 ل م ت ال 1 0 1 0
زا طرو ال 1 0 1 0 +

ال رتية اا افية تس ا

1 0 1 0 0

الطر زاتج
مثال: اطر العدد (10101)2 إل العدد (1011)2 ياستخدام ال ت م ل 2 :
زا طرو ال 0 1 0 1 1
طرو ال 1 0 1 0 1 ?

ال ت م ل 1 لم طرو

0 1 0 1 0
1 +

طرو لم 2 ل م ت ال 0 1 0 1 1

زا طرو ال 0 1 0 1 1 +
0 1 1 0 1 ? ال رتية اا افية خالية إ إل الزتياة سالية
آلخر زتياة
0 1 0 0 1
1 +
3 1 0 1 0



وزتياة الطر هو يأخ المتمم ل 2

إ إل زاتج الطر هو العدد ( ? 0 1 0 1 )