انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

الاحصاء - مقاييس التشتت

Share |
الكلية كلية العلوم     القسم قسم الكيمياء     المرحلة 2
أستاذ المادة فؤاد حمزة عبد الشريفي       25/02/2017 04:21:33
مقاييس التشتت
تقسم مقاييس التشتت الى قسمين : الاول مقاييس التشتت المطلق ومنها :
أولاً : الانحراف المتوسط The Mean Deviation
و يعرف على أنه مجموع مطلق انحرافات القيم عن وسطها الحسابي مقسوما على عددها ويرمز له بالرمز M.D .
الانحراف المتوسط للبيانات الغير مبوبة: اذا كانت لدينا n من القيم x_1,x_2 ,?,x_n فان الانحراف المتوسط لهذه القيم هو
M.D=(??|x_i-¯x| )/n
مثال (1) جد الانحراف المتوسط للقيم 15,17 ,13,18 ,12 ,21

??x_i =96 21 12 18 13 17 15 x_i
??(x_i-¯x) =0 5 -4 2 -3 1 - 1 x_i-¯x
??|x_i-¯x| =15 5 4 2 3 1 1 |x_i-¯x|

¯x=(??x_i )/n =96/6=16 and M.D=(??|x_i-¯x| )/n=16/6=2.67
الانحراف المتوسط للبيانات المبوبة : إذا كان لدينا جدول تكراري لفئات مع تكرارها فالانحراف المتوسط يساوي مجموع حاصل ضرب مطلق انحرافات القيم عن وسطها الحسابي في تكرارها مقسوماً على مجموع التكرارات
M.D=(???f_i |x_i-¯x| ?)/(??f_i )
مثال (2) احسب الانحراف المتوسط من جدول التوزيع التكراري التالي :

الفئات 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39
التكراراتf_i 11 13 22 26 15 13


الفئات f_i x_i f_i x_i |x_i-¯x| f_i |x_i-¯x|
10-14 11 12 132 13 143
15-19 13 17 221 8 104
20-24 22 22 484 3 66
25-29 26 27 702 2 52
30-34 15 32 480 7 105
35-39 13 37 481 12 156
Sum 100 2500 25 626
¯x=(???f_i x_i ?)/(??f_i )=2500/100=25 and M.D=(???f_i |x_i-¯x| ?)/(??f_i )=626/100=6.26
ثانياً: التباين Variance
فكرة التباين تعتمد على تباعد البيانات عن وسطها الحسابي فيكون كبيرا إذا كانت البيانات متباعدة عن وسطها الحسابي والعكس بالعكس. و يعرف على أنه معدل مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي ويرمز له بالرمز S^2.
التباين للبيانات الغير مبوبة: اذا كان لدينا n من القيم x_1,x_2,…,x_n فان التباين لهذه القيم هو :
S^2=(??(x_i-¯x)^2 )/(n-1)
مثال ( 3 ) : جد التباين للقيم 9 ,8 ,6 ,5 ,7 .
??x_i =35 9 8 6 5 7 x_i
??(x_i-¯x) =0 2 1 -1 -2 0 x_i-¯x
??(x_i-¯x)^2 =10 4 1 1 4 0 (x_i-¯x)^2


¯x=(??x_i )/n =35/5=7
S^2=(??(x_i-¯x)^2 )/(n-1)=10/4=2.5
ملاحظة : في حالة كون القيم كسور عشرية او الوسط الحسابي للقيم المعطاة كسر عشري فان حساب التباين يكون اسهل
باستعمال القانون التالي :
S^2=(????x_i?^2-(??x_i )^2/n?)/(n-1)
مثال ( 4 ) تبرع طلاب المرحلة الثانية لقسم الكيمياء بالدم لجرحى الحشد الشعبي الذين جُرحوا اثناء عمليات تحرير الموصل ، وكانت تراكيز الاجسام المضادة في مصل الدم لعينة منهم 2.05 ,0.94 ,1.83 ,1.17 ,2.16 ,1.25 احسب التباين.
??x_i =9.4 1.25 2.16 1.17 1.83 0.94 2.05 x_i
???x_i?^2 =16.032 1.5625 4.6656 1.3689 3.3489 0.8836 4.2025 ?x_i?^2

S^2=(????x_i?^2-(??x_i )^2/n?)/(n-1)=(16.032-(9.4)^2/6)/5=(16.032-14.737)/5=0.259


التباين للبيانات المبوبة: يحسب التباين من جدول التوزيع التكراري باستعمال القانون التالي :
S^2=(???f_i (x_i-¯x)^2 ?)/(??f_i -1)
مثال ( 4 ) : جد التباين من جدول التوزيع التكراري
الفئات 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49
التكرارات f_i 8 11 21 28 17 15

الفئات f_i x_i f_i x_i |x_i-¯x| (x_i-¯x)^2 ?f_i (x_i-¯x)?^2
20-24 8 22 176 14 196 1568
25-29 11 27 297 9 81 891
30-34 21 32 672 4 16 336
35-39 28 37 1036 1 1 28
40-44 17 42 714 6 36 612
45-49 15 47 705 11 121 1815
Sum 100 3600 5250


¯x=(???f_i x_i ?)/(??f_i )=3600/100=36
S^2=(???f_i (x_i-¯x)^2 ?)/(??f_i -1)=5250/99=53.03

أما في حالة كون مراكز الفئات كسور عشرية او الوسط الحسابي للبيانات المعطاة كسر عشري فان حساب التباين يكون اسهل باستعمال القانون التالي :
S^2=(?????f_i x?_i?^2-(???f_i x_i ?)^2/(??f_i )?)/(??f_i -1)




مثال ( 5 ) تبرع 50 طالبا من طلاب المرحلة الثانية لقسم الكيمياء بالدم لجرحى لواء علي الاكبر الذين جُرحوا اثناء عمليات تحرير تلعفر من عصابات داعش ، وتم تلخيص مستوى الهيموغلوبين بالدم لهم بالجدول التالي ، احسب التباين .
الفئات 12.8-13.8 13.9-14.9 15.0-16.0 16.1-17.1 17.2-18.2 18.3-19.3
التكراراتf_i 3 5 15 16 10 1

الفئات f_i x_i f_i x_i ?x_i?^2 ??f_i x?_i?^2
12.8-13.8 3 13.3 39.9 176.89 530.67
13.9-14.9 5 14.4 72 207.36 1036.8
15.0-16.0 15 15.5 232.5 240.25 3603.75
16.1-17.1 16 16.6 265.6 275.56 4408.96
17.2-18.2 10 17.7 177 313.29 3132.9
18.3-19.3 1 18.8 18.8 353.44 353.44
Sum 50 805.8 13066.52

S^2=(?????f_i x?_i?^2-(???f_i x_i ?)^2/(??f_i )?)/(??f_i -1)=(13066.52-12986.27)/49=1.64
ثالثاً : الانحراف المعياري Standard Deviation
يعرف الانحراف المعياري على أنه الجذر التربيعي للتباين ويرمز له بالرمز . S
مثال ( 6 ) قام احد الطلاب بتعيين الكلوريد في مياه الاسالة بطريقة مور وأعاد التجربة أربع مرات وحصل على النتائج التالية 12.69 ,12.58 ,13.02 ,12.63 احسب الانحراف المعياري .
??x_i =50.92 12.63 13.02 12.58 12.69 x_i
???x_i?^2 =648.3298 159.5169 169.5204 158.2564 161.0361 ?x_i?^2
S=?(S^2 )=?((????x_i?^2-(??x_i )^2/n?)/(n-1))=?((648.3298-(50.92)^2/4)/3)
=?0.0394=0.1985

بعض خصائص التباين والانحراف المعياري:
يخضع التباين والانحراف المعياري لبعض العمليات الجبرية وكما يلي:
الانحراف المعياري التباين القيم
S S^2 x_1,x_2,…,x_n
S S^2 x_1?c,x_2?c,…,x_n?c
aS a^2 S^2 ?ax?_1,?ax?_2,…,?ax?_n
aS a^2 S^2 ?ax?_1?c,?ax?_2?c,…,?ax?_n?c

مثال ( 7 ) أكمل الخلايا الفارغة بالجدول :
الانحراف المعياري التباين القيم
x_i: 5,7 ,11 ,12 ,15

x_i+10
2x_i
(x_i-3)/2

S^2=(????x_i?^2-(??x_i )^2/n?)/(n-1)=(564-(50)^2/5)/4=16
الانحراف المعياري التباين القيم
4 16 x_i: 5,7 ,11 ,12 ,15

4 16 x_i+10
2×4=8 2^2×16=64 2x_i
( 1 )/2×4=2 (( 1 )/2)^2×16=4 (x_i-3)/2

القسم الثاني : مقاييس التشتت النسبي ومنها :
أولاً: معامل الاختلاف Coefficient Variation
ويستخدم لمقارنة التشتت النسبي أو التجانس لمجموعات البيانات المختلفة . فمجموعة البيانات ذات معامل الاختلاف الأكبر يكون تشتتها النسبي أكبر أي أنها تكون أقل تجانسا والعكس بالعكس . ويعرف معامل الاختلاف للعينة التي وسطها الحسابي ¯x وانحرافها المعياري S بالقانون التالي :
C.V=( S )/¯x×100%
مثال ( 7 ) توصل احد طلبة المرحلة الرابعة لقسم الكيمياء في بحث تخرجه الى طريقة جديدة لمعرفة كمية الصوديوم في السمنت وكانت نتائجه عند فحص عينة من معمل سمنت الكوفة لأربع قراءات كما يلي :
6.79×?10?^(-2) ,6.82×?10?^(-2) ,6.78×?10?^(-2) ,6.85×?10?^(-2) mg?L
وكان الوسط الحسابي لأربع قراءات لنفس العينة بطريقة الانبعاث الذري هو 6.83×?10?^(-2) mg?L وبانحراف معياري قدره 4.8×?10?^(-4) mg?L ، هل هناك اختلاف بين الطريقتين ؟
الحل : نجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري لقراءات الطريقة المقترحة
¯x=(??x_i )/n =(27.24×?10?^(-2))/4=6.81×?10?^(-2) mg?L
??x_i =27.24×?10?^(-2) 6.85×?10?^(-2) 6.78×?10?^(-2) 6.82×?10?^(-2) 6.79×?10?^(-2) x_i
???x_i?^2 =185.5074
×?10?^(-4) 46.9225
×?10?^(-4) 45.9684
×?10?^(-4) 46.5124
×?10?^(-4) 46.1041
×?10?^(-4) ?x_i?^2

S=?(S^2 )=?((????x_i?^2-(??x_i )^2/n?)/(n-1))=?((185.5074×?10?^(-4)-(27.24×?10?^(-2) )^2/4)/3)
=?(0.003×?10?^(-4) )=0.05477×?10?^(-2)
C.V=( S )/¯x×100%=( 0.05477×?10?^(-2) )/(6.81×?10?^(-2) )×100%=0.8%
اما معامل الاختلاف للطريقة المعروفة فهو :
C.V=( 4.8×?10?^(-4) )/(6.83×?10?^(-2) )×100%=0.7%
من خلال معامل الاختلاف نجد ان الفرق بسيط جدا بين الطريقتين .

ثانياً: الدرجة المعيارية The Standard value
هي مقياس يدلنا على انحراف القيمة عن الوسط الحسابي باستخدام الانحراف المعياري. فهي تحدد اتجاه وبعد القيمة عن الوسط الحسابي فإذا كانت موجبة تكون أكبر من الوسط الحسابي والعكس بالنسبة للسالب، أما البعد فتعني كبر القيمة فكلما كبرت القيمة ابتعدت عن الوسط الحسابي.
اذا كان لدينا n من القيم x_1,x_2,…,x_n وسطها الحسابي ¯x وانحرافها المعياري S فان الدرجة المعيارية z_i للقيمة x_i تعرف كما يلي :
z_i=(x_i-¯x)/S
مثال ( 8 ) إذا كان لدينا مجموعة من البيانات وسطها الحسابي ¯x=7 وانحرافها المعياري S=5 فأوجد:
1. الدرجة المعيارية للقيمة . x = 9
2. القيمة الاصلية للدرجة المعيارية z =-0.2 .
1. z=(x-¯x)/S=(9-7)/5=0.4
2. z=(x-¯x)/S ? x=zS+¯x=-0.2×5+7=6
مثال ( 9 ) إذا كانت درجة أحد الطلاب في مادة الكيمياء التحليلية 73 ودرجته في مادة الرياضيات 85 ففي أي المادتين كان أداء الطالب أفضل إذا علمت ان الوسط الحسابي لدرجات الطلاب في الكيمياء التحليلية 55 وبتباين مقداره 225 و الوسط الحسابي لدرجات الطلاب في الرياضيات 75 وبتباين144 .
الحل :
الدرجة المعيارية لمادة التحليلية :
z=(x-¯x)/S=(73-55)/?225=18/15=1.2
الدرجة المعيارية لمادة الرياضيات :
z=(x-¯x)/S=(85-75)/?144=10/12=0.83
بما ان الدرجة المعيارية لمادة التحليلية اكبر من الدرجة المعيارية لمادة الرياضيات لذا فان اداء الطالب بمادة التحليلية افضل من اداءه بمادة الرياضيات بالرغم من ان درجة الرياضيات كانت اعلى .


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .