انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

Sequences

Share |
الكلية كلية العلوم     القسم قسم الكيمياء     المرحلة 1
أستاذ المادة فؤاد حمزة عبد الشريفي       08/03/2017 03:07:43
Sequences
A sequence of real numbers is a function a? N ? R.
The sequence is denoted by {a_1 ,a_2 ,a_3 ,?,a_n ,?} or { a_n }
For example, the expression {2n} denotes the sequence {2 ,4 ,6 ,?}
The number a_n is called the general term of the sequence { a_n }.
convergent sequence: We say that the sequence { a_n } converges to L if
otherwise it diverges.
Example 1: Determine whether the sequence converges or diverges.
1. {(n^2+1)/(n+1)^2 } 2. {(n+17)/?(2n^2+3n)} 3. {e^n/n^3 }
4.{ ?(n+4) -?(n ) } 5.{ ?(n^2+5n) -n }
1. lim?(n??)??(n^2+1)/(n+1)^2 ?=lim?(n??)??2n/2(n+1) ?=lim?(n??)??( 2 )/2?=1 converges to 1
2. lim?(n??)??(n+17)/?(2n^2+3n)?=lim?(n??)??(1+17/n)/?(2+( 3 )/n)?=( 1 )/?( 2 ) converges to ( 1 )/?( 2 )
3. lim?(n??)??e^n/n^3 ?=lim?(n??)??e^n/?3n?^2 ?=lim?(n??)??e^n/6n?=lim?(n??)??e^n/6?=? diverges
4. lim?(n??)?(?(n+4) -?(n ))=lim?(n??)?(?(n+4) -?(n ))×((?(n+4)+?(n )))/((?(n+4)+?(n )) )
=lim?(n??)??(n+4-n)/((?(n+4)+?(n )) )?=0 converges to 0
5. lim?(n??)??(?(n^2+5n) -n)×(?(n^2+5n)+n)/(?(n^2+5n)+n)?=lim?(n??)??(n^2+5n-n^2)/(?(n^2+5n)+n)?
=lim?(n??)??5n/(?(n^2+5n)+n)?=lim?(n??)??5/(?(1+5/( n ))+1)?
=5/( 2 ) converges to 5/( 2 )
Limits that arise frequently
1. lim?(n??)??ln?n/n?= 0 2. lim?(n??)??(n&n)=1
3. lim?(n??) x^(1/n)=1 ; (x>0) 4.lim?(n??) x^n=0 ; (|x|<1)
5.lim?(n??)??(1+( x )/n)^n=e^x ? 6. lim?(n??) x^n/n!=0
Calculation of the limits
1.lim?(n??)??ln?n/n?=lim?(n??)??(( 1 )/n)/1?=0
2.Let a=lim?(n??)??(n&n) then ln?a=ln?lim?(n??)??(n&n)
ln?a=ln?lim?(n??)??(n)^(1?n) ?
ln?a=lim?(n??)?ln??(n)^(1?n) ?
ln?a=lim?(n??)??ln?n/n?= 0
a=e^0=1
So lim?(n??)??(n&n)=1
5. Let a=lim?(n??)??(1+( x )/n)^n ? then ln?a=lim?(n??)?ln??(1+( x )/n)^n ?
ln?a=lim?(n??)??n ln?(1+( x )/n) ?=lim?(n??)??ln?(1+( x )/n)/(( 1 )/n)?
ln?a=lim?(n??) (1/((1+x/n) ).(-x)/n^2 )/((-1)/n^2 )=x
a=e^x
So lim?(n??)??(1+( x )/n)^n ?=e^x

Example 2: Determine whether the sequence converges or diverges.
1.{(1+ln?n)/n} 2. {1/(0.6)^n } 3. {(x^n/(2n+1))^(1?n) }
4. {?(n&n^2+n )} 5. {ln??((n-2)/n)^n ? } 6. {n!/?10?^n }
1. lim?(n??)???1+ln??n/n?=lim?(n??) 1/n+ lim?(n??)??ln?n/n?= 0 converges to 0
2. lim?(n??)??1/(0.6)^n ?=1/(lim?(n??) (0.6)^n )=? diverges
3. lim?(n??) (x^n/(2n+1))^(1?n)=(lim?(n??) x)/lim?(n??)??(n&2n+1) =( x )/( 1 )=x converges to x
4. lim?(n??)??(n&n^2+n)=lim?(n??)??(n&n(n+1) )=lim?(n??)??(n&n)×lim?(n??)??(n&n+1)=1 converges to1
5. lim?(n??)??ln??((n-2)/n)^n ?=ln??lim?(n??) (1+(-2)/n)^n ? ?=ln??e^(-2) ?=-2 converges to -2
6. lim?(n??) n!/?10?^n =1/(lim?(n??) ?10?^n/n!)=( 1 )/0=? diverges


Determine whether the sequence converges or diverges.
1.{(3+ln??n^n ?)/n^2 } 2. {(( 3 )/n)^(1/n) } 3. {((n+5)/n)^n }
4. {?(n&4^n n)} 5. {(n^5+2n)/(3n^4+n^2 )} 6. {8^(n+1)/n!}
7.{(e^n+n^2)/(e^n-2n^2 )} 8. {?(n(n+2) ) -n} 9. {(x^n/(2n+1))^(1?n) }
10. {(3n^2-ln?n)/(n^2+3n^(3?2) )} 11. {((n-3)/n)^n }


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
الرجوع الىلوحة التحكم