انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

الاحتمالات

Share |
الكلية كلية العلوم     القسم قسم الكيمياء     المرحلة 2
أستاذ المادة فؤاد حمزة عبد الشريفي       20/03/2017 15:08:18
الاحتمالات Probabilities
مفهوم الاحتمال:
هو إمكانية حدوث أمر معين لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في حياتنا اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد.
التعاريف الأساسية للاحتمال:
التجربة العشوائية (Random Sampling): وهو أي إجراء نقوم به نعلم نتائجه المحتملة دون معرفة أي منها سيقع، فمثلا امتحان الطالب بمادة الرياضيات يعتبر تجربة عشوائية فقد ينجح الطالب او يرسب .
فضاء العينة (Sample Space) : وهو مجموعة النتائج الممكنة الوقوع لتجربة ما و يرمز له S . فمثلا ليكن الحدث هو حصول الطالب على تقدير جيد بمادة العضوية فان درجته تكون احدى الدرجات في فضاء العينة :
S={70,71,72,73,74,75,76,77,78,79}
وفي تجربة القاء حجر نرد مرة واحدة يكون فضاء العينة :
S={1,2,3,4,5,6}
الحوادث المتنافية : وهي الحوادث التي لا يمكن ان تقع بنفس الوقت ، فمثلاً عند رمي قطعة نقود معدنية فمن المستحيل الحصول على الصورة والكتابة بنفس الوقت .
الحوادث المستقلة : وهي الحوادث التي اذا وقع احدها لا يمنع من وقوع الاحداث الاُخرى ، فنجاح الطالب بمادة الرياضيات لا يمنع نجاحه بمادة الفيزياوية .
الحوادث الغير مستقلة : وهي الحوادث التي اذا وقع احدها فانه يؤثر في وقوع الاحداث الاُخرى ، فاذا أردنا تعيين ثلاثة من خرجي قسم الكيمياء للعام الماضي وتم تعيين احدهم بواسطة قوية فانه يؤثر على تعيين باقي الخريجين.
مضروب n :
اذا كان n عددا طبيعيا فان n!=n(n-1)(n-2)(n-3)?×3×2×1
مثلا 6!=6×5×4×3×2×1=720
التوافيق :
(?(n@r))=n!/r!(n-r)!
مثلا
(?(7@3))=7!/(3!×4!)=(7×6×5×4!)/(3×2×1×4!)=35


احتمالات الحوادث
ليكن S فضاء العينة لتجربة ما و A حدث معين في هذه التجربة فان احتمال وقوع الحدث A هو
P(A)=n(A)/n(S)
حيث n(A) عدد عناصر الحدث A و n(S) عدد عناصر فضاء العينة S
مثال (1) عند رمي حجر نرد ، ما هو احتمال الحصول على عدد يقبل القسمة على 3 بدون باقي ؟
الحل : فضاء العينة S={1,2,3,4,5,6} .
لنرمز لحدث الحصول على عدد يقبل القسمة على 3 بالرمز A .
?A={3,6}
P(A)=n(A)/n(S) =( 2 )/6=( 1 )/3
ملاحظات : اذا كان S هو فضاء العينة لحدث ما وكان كل من A?S و B?S فان :
1. 0?P(A)?1
2. P(S)=1
3. P(A)+P(A^c )=1 حيث A^c هي متممة A .
4. اذا كان A و B حادثين متنافيين فان احتمال حدوث A أو B هو حاصل جمع احتمال كل منهما أي :
P(A?B)=P(A)+P(B)
5. اذا كان A و B حادثين غير متنافيين فان احتمال حدوث A أو B هو حاصل جمع احتمال كل منهما ناقص احتمال حدوثهما معاً أي :
P(A?B)=P(A)+P(B)-P(A?B)
حيث P(A?B) هو احتمال حدوث A و B معاً .
6. اذا كان A و B حادثين مستقلين فان احتمال حدوثهما معاً هو حاصل ضرب احتماليهما أي :
P(A?B)=P(A)P(B)
7. اذا كان A و B حادثين غير مستقلين فان احتمال حدوثهما معاً هو حاصل ضرب احتمال وقوع الاول مضروباً باحتمال وقوع الثاني مشروطاً بحدوث الاول أي :
P(A?B)=P(A)P(? B?|A)
حيث P(? B?|A) الحادث وقوعB مشروطاً بحدوث A .

مثال (2) اذا اُلقي حجر نرد فما احتمال ظهور العدد فردياً أو يقبل القسمة على 3 .
الحل : الحادث ظهور العدد فردي A={1,3,5}
الحادث ظهور العدد يقبل القسمة على 3 B={3,6}
الحادث ظهور العدد فردي و يقبل القسمة على 3 A?B={3}
احتمال ظهور العدد فردي أو يقبل القسمة على 3 P(A?B)=P(A)+P(B)-P(A?B)
=( 3 )/6+( 2 )/6-( 1 )/6=( 4 )/6=2/( 3 )
مثال (3) اذا كان A و B حادثين متنافيين بحيث ان P(A)=0.3 ,P(B)=0.4 فجد قيمة (1) P(A^c ) (2) P(A?B^c )
(1) P(A^c )=1-P(A)=1-0.3=0.7
(2) P(A?B^c )=P(A)+P(B^c )=0.3+1-0.4=0.9
مثال (4) في المرحلة الثانية لقسم الكيمياء كانت نسبة النجاح بمادة الرياضيات هي 82% وبمادة العضوية 57% ورسب بالمادتين معاً 15% من الطلبة فاذا تم اختيار طالب منهم فما هو احتمال ان يكون راسباً بإحدى المادتين ؟
احتمال نجاح طالب ما بمادة الرياضيات هو P(A)=0.82
احتمال نجاح طالب ما بمادة العضوية هو P(B)=0.57
وعليه فان احتمال رسوب طالب ما بمادة الرياضيات هو P(A^c )=1-P(A)=1-0.82=0.18
واحتمال رسوب طالب ما بمادة العضوية هو P(B^c )=1-P(B)=1-0.57=0.43
واحتمال رسوب طالب ما بالمادتين معاً هو P(A^c?B^c )=0.15
بما ان الحادثين غير متنافيين لذا فان احتمال ان يكون الطالب راسباً بإحدى المادتين هو :
P(A^c?B^c )=P(A^c )+P(B^c )-P(A^c?B^c )=0.18+0.43-0.15=0.46
مثال (5) عدد طلاب المرحلة الثانية لقسم الكيمياء 64 طالبا منهم 40 اناث قرروا اختيار طالبين منهم لملاقاة السيد عميد الكلية لعرض مشاكلهم عليه فما احتمال ان يكونا ذكران ؟
نرمز لاختيار الطالب الاول بالرمز A_1 والثاني A_2 وعليه فاحتمال ان يكونا ذكران هو P(A_1?A_2 )
عدد الذكور هو 24
بما ان الحادثين غير مستقلين لذا فاحتمال ان يكونا ذكران هو
P(A_1?A_2 )=P(A_1 ).P(A_2 |A_1 )=( 24 )/64×23/63=23/168=0.1369


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
الرجوع الىلوحة التحكم