انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

التوزيعات الاحتمالية المنفصلة

Share |
الكلية كلية العلوم     القسم قسم الكيمياء     المرحلة 2
أستاذ المادة فؤاد حمزة عبد الشريفي       21/03/2017 04:48:19
التوزيعات الاحتمالية Probability Distributions
تكلمنـا عـن بعض مفاهيـم الاحتمالات والتجارب العشوائية وفـي كثير من الأحيان نرغب فـي التعامل مع قيـم عدديـة مرتبطة بنقاط العينة للتجربـة العشوائية بدلا من التعامل مع نقاط العينة نفسها إذ أن نقاط العينة أو
النتائج الممكنة للتجربة العشوائية تكون في بعض الأحيان عبارة عن صفات أو مسميات يصعب التعامل معها رياضيا وفي هذه الحالة فإننا نقوم بتحويل هذه القيم الوصفية إلى قيم عددية حقيقية تسمى قيم المتغير العشوائي فالمتغيرات العشوائية تستخدم للتعبير عن نتائج التجربة العشوائية وعن الحوادث بقيم عددية بدلا من المسميات أو الصفات . فعلى سبيل المثال عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات متتالية فان فضاء العينة هو
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
قد نكون مهتمين فقط بعدد مرات ظهور الصورة H بغض النظر عن التفصيلات الاخرى ، ان عدد الصور في هذه الحالة هو عبارة عن متغير عشوائي x_i تتغير قيمته بتغير نتيجة التجربة العشوائية وقيم x_i هنا هي x_i=0,1,2,3
وهناك عدة انواع من المتغيرات العشوائية نذكر منها نوعين : الاول متغيرات عشوائية منفصلة والثاني متغيرات عشوائية متصلة .
التوزيعات الاحتمالية المنفصلة Discrete Probability Distributions
التوزيع الاحتمالي المنفصل هو جدول أو قانون يحتوي على جميع قيم المتغير العشوائي المنفصل مع جميع الاحتمالات المقترنة مع كل قيمة من قيم المتغير المنفصل ويرمز له بالرمز f(x) بحيث ان
f(x)?0 و ??f(x_i ) =1
وتًسمى f(x) دالة الكثافة الاحتمالية (p.d.f ) .
مثال (1) ليكن x تمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود اربع مرات ، جد قانوناً يمثل دالة الكثافة الاحتمالية
ثم احسب P(x=2).
الحل : عدد عناصر فضاء العينة n(S)=2^4=16 ، عدد مرات ظهور الصورة x=4,3,2,1,0
عدد الطرق الممكنة للحصول على الصورة هو n(A)=(?(4@x))
دالة الكثافة الاحتمالية
f(x)=n(A)/n(S) =((?(4@x)))/16
P(x=2)=((?(4@2)))/16=(4!/2!2!)/16=6/16=( 3 )/8


الوسط الحسابي و التباين للمتغير العشوائي المنفصل :
اذا كان المتغير العشوائـي x يأخـذ القيـم x_1,x_2,…,x_n وباحتمال f(x_1 ),f(x_2 ),…,f(x_n ) فان الوسط الحسابي ? هو
?=x_1 f(x_1 )+x_2 f(x_2 )+?+x_n f(x_n )=?_(i=1)^n??x_i f(x_i ) ?
أما التباين ?^2 فهو
?^2=E(x_i-?)^2=?_(i=1)^n??(x_i-?)^2 f(x_i ) ?
مثال (2) من جدول التوزيع الاحتمالي المنفصل التالي احسب الوسط الحسابي والتباين ومعامل الاختلاف للمجتمع

4 3 2 1 0 x_i
0.10 0.25 0.35 0.15 0.15 f(x_i )
الحل :
?=E(x)=?_(i=1)^5??x_i f(x_i ) ?=x_1 f(x_1 )+x_2 f(x_2 )+x_3 f(x_3 )+x_4 f(x_4 )+x_5 f(x_5 )
=0×0.15+1×0.15+2×0.35+3×0.25+4×0.10=2
?^2=E(x_i-?)^2=?_(i=1)^n??(x_i-?)^2 f(x_i ) ?
=(0-2)^2 0.15+(1-2)^2 0.15+(2-2)^2 0.35+(3-2)^2 0.25+(4-2)^2 0.10
=0.60+0.15+0+0.25+0.40=1.4
C.V=( ? )/?×100%=?1.4/2×100%=59.16%







توزيع ذي الحدين Binomial Distribution
يُعتبر توزيع ذي الحدين من أهم التوزيعات المتقطعة ويهتم بالتجارب التي تتكرر n من المرات والتي تصنف نتائجها الى صنفين الاول النجاح ) p احتمال ظهور الحادث ( والثاني الفشل ) q احتمال عدم ظهور الحادث ( بحيث ان p+q=1 فاذا كانت عدد مرات النجاح هو x فان احتمال ظهور الحادث x
عدد من المرات في n من التجارب يمكن حسابه بقانون توزيع ذي الحدين والذي ينص على :
P(x)=(?( n @x)) p^x q^(n-x) ; x=0,1,2,?,n
مثال (3) اذا كان احتمال تسجيل علي عدنان لهدف من ضربة حرة هو 0.75 فما احتمال تسجيله لهدفين على الاقل من اربع ضربات ؟
الحل :p=0.75 ,q=0.25 ,n=4
P(x?2)=P(2)+P(3)+P(4)
=(?(4@2)) (0.75)^2 (0.25)^2+(?(4@3)) (0.75)^3 (0.25)^1+(?(4@4)) (0.75)^4 (0.25)^0
=0.211+0.422+0.316=0.949
مثال (4) ليكن x تمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود خمس مرات احسب . P(x?2)
الحل :p=0.5 ,q=0.5 ,n=5
P(x?2)=P(2)+P(1)+P(0)
=(?(5@2)) (0.5)^2 (0.5)^3+(?(5@1)) (0.5)^1 (0.5)^4+(?(5@0)) (0.5)^0 (0.5)^5
=(0.5)^5 (10+5+1)=0.5

خواص توزيع ذي الحدين
1. الوسط الحسابي لتوزيع ذي الحدين هو ?=np
2. التباين لتوزيع ذي الحدين هو ?^2=npq





مثال ( 5 ) بجهود المخلصين من اعضاء مجلس محافظة بـابـل تم افتتاح معمل لصناعة الحاسبات الالكترونية لتوزيعها على طلبة جامعة بابل وكانت نسبة المعيب من هذه الحاسبات الالكترونية هي 8% من الانتاج احسب الوسط الحسابي للحاسبات الالكترونية الصالحة اذا تم انتاج 750 حاسبة ثم جد التباين ومعامل الاختلاف .
الحل : q=0.08 ,p=1-0.08=0.92 , n=750
?=np=750×0.92=690
?^2=npq=750×0.92×0.08=55.2
C.V=( ? )/?×100%=?55.2/690×100%=1.077%

تمارين
1. ليكن x تمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود اربع مرات احسب الوسط الحسابي لـ x ثم احسب التباين ومعامل الاختلاف .
2. اذا كان احتمال شفاء مريض من مرض معين هو 0.6 فاذا دخل المستشفى 7 مرضى مصابين بهذا المرض فما هو احتمال ان
(a) لا يشفى أحد منهم لا سامح الله .
(b) يشفى واحد منهم فقط بعون الله ودعاء والديه.
(c) يشفى منهم على الاقل اربعة بعون الله ودعاء المؤمنين .
3. في اختبار مكون من خمسة أسئلة اختيارات وكل سؤال مكون من أربعة إجابات إحداها صحيحة والثلاث الأخرى خاطئة، قرر احد الطلبة الاختيار العشوائي للإجابة الصحيحة من بين الإجابات الأربع لعدم معرفته بالإجابة الصحيحة. فما احتمال نجاح الطالب ؟
4. أبو تحسين الصالحي من ابرز قناصي لواء علي الاكبر ، نسبة اصابته للهدف هي 95% فاذا تسلل ستة دواعش على جبال الحسين (ع) (مكحول سابقا) فتصدى لهم البطل ابو تحسين ، فما احتمال ان يقتل منهم خمسة على الاقل ؟
5. في معمل التصنيع العسكري التابع للعتبة العباسية تم تصنيع قاذفات مضادة للسيارات المفخخة وكانت نسبة القاذفات الصالحة هي 90% من الانتاج ، احسب معامل الاختلاف اذا تم انتاج 1000 قاذفة .


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
الرجوع الىلوحة التحكم